Question

17．在等腰直角三角形ABC中．AB=AC=2，AD是BC邊上的中線，將△ABC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到△A₁B₁C₁，連接AA、BB（如圖1）．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，試判斷線段AA₁是BB₁的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，若直線AA₁和BB₁相交于點M，連接CM（如圖2），求線段CM的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AA₁=BB₁，且AA₁⊥BB₁．如圖1中，延長AA₁交B₁B于M．連接AB₁．由DA=DB=DC=DA₁=DB₁=DC₁，推出A、A₁、B、B₁、C共圓，推出∠MAB₁=$\frac{1}{2}$∠A₁DB₁=45°，∠MBA₁=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°，推出∠AMB₁=90°，由∠ADA₁=∠BDB₁，推出$\widehat{A{A}_{1}}$=$\widehat{B{B}_{1}}$，推出AA₁=BB₁，延長即可證明．
（2）由（1）可知∠AMB=90°，推出點M在以AB為直徑的圓上，推出當(dāng)CM經(jīng)過線段AB中點時，可得CM的最大值以及最小值CM′．

解答 解：（1）結(jié)論：AA₁=BB₁，且AA₁⊥BB₁．
理由：如圖1中，延長AA₁交B₁B于M．連接AB₁．

∵AB=AC，DB=DC，∠BAC=90°，
∴DA=DB=DC=DA₁=DB₁=DC₁，
∴A、A₁、B、B₁、C共圓，
∴∠MAB₁=$\frac{1}{2}$∠A₁DB₁=45°，∠MBA₁=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°，
∴∠AMB₁=90°，
∵∠ADA₁=∠BDB₁，
∴$\widehat{A{A}_{1}}$=$\widehat{B{B}_{1}}$，
∴AA₁=BB₁，
∴AA₁=BB₁，且AA₁⊥BB₁．

（2）如圖2中，

由（1）可知∠AMB=90°，
∴點M在以AB為直徑的圓上，
∴當(dāng)CM經(jīng)過線段AB中點時，可得CM的最大值以及最小值CM′，
在Rt△AOC中，OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵OM=OM′=1，
∴OM的最大值為$\sqrt{5}$+1，OM的最小值為$\sqrt{5}$-1，
∴$\sqrt{5}$-1≤OM≤$\sqrt{5}$+1．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是利用輔助圓解決問題，屬于中考壓軸題．