Question

18．如圖①，拋物線y=ax²+bx+c過原點，且當x=-$\frac{3}{2}$時有最小值，并經(jīng)過點A（-4，2），同時AB平行于x軸交拋物線與點B．
（1）求該拋物線的解析式，并求出點B的坐標和拋物線與x軸的另一交點坐標；
（2）在x軸上是否存在點D，使△AOB與△BOD相似？
（3）如圖②，將△AOB繞著點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后到達△A′OB′的位置，當△A′OB′的重心G正好落在直線OA上時，求直線A′B′與直線AB的交點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-\frac{3}{2}}\\{16a-4b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，解方程組即可解決問題；
（2）存在．如圖1中，作BD∥AO交x軸于D．易知四邊形ABDO是平行四邊形，此時△BOD≌△OBA，推出OD=AB=5，由此即可解決問題；
（3）如圖2中，當OA′與x軸負半軸重合時，A′B′交OA于E，證明此時OE是△A′OB′的中線，△A′OB′的重心在中線OA上，求出中線A′B′的解析式即可解決問題，當OA′與x軸的正半軸重合時，同法可得點P的坐標；

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-\frac{3}{2}}\\{16a-4b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$．
當y=2時，$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$=0，解得x=1或-4，
∵A（-4，2），
∴B（1，2），
令y=0，$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$=0解得x=-3或0，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-3，0）；

（2）存在．理由如下：
如圖1中，作BD∥AO交x軸于D．

∵AB∥OD，AO∥BD，
∴四邊形ABDO是平行四邊形，
∴AB=OD，OA=BD，∵OB=BO，
∴△BOD≌△OBA，
∴OD=AB=5，
∴D（5，0）；

（3）如圖2中，當OA′與x軸負半軸重合時，A′B′交OA于E，

∴∠A=∠B′A′O=∠AOA′，
∴EA′=EO，
∵∠B′A′O+∠A′B′O=90°，∠A′OE+∠EOB′=90°，
∴∠EOB′=∠EB′O，
∴EO=EB′，
∴EA′=EB′，
∴OE是△A′OB′的中線，此時△A′OB′的重心在中線OA上，
易知A′（-2$\sqrt{5}$，0），B′（0，$\sqrt{5}$），
∴中線A′B′的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\sqrt{5}$，
當y=2時，2=$\frac{1}{2}$x+$\sqrt{5}$，
∴x=4-2$\sqrt{5}$，
∴P（4-2$\sqrt{5}$，2）．
當OA′與x軸的正半軸重合時，同法可得點P的坐標為（4+2$\sqrt{5}$，2），
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（4-2$\sqrt{5}$，2）或（4+2$\sqrt{5}$，2）；

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形重心的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會尋找特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．