Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，將Rt△ABC繞點C逆時針旋轉60°得到△DGC，點G在AC上，再將Rt△ABC沿著AB所在直線翻轉180°得到△ABE，連接AD．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）連接BG并延長交AD于F，連接CF交DG于H．
①請問：四邊形ABCF是什么特殊平行四邊形？為什么？
②若FH=2，求四邊形AECD的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)條件得出AE∥CD，AE=CD，進而得到四邊形AECD是平行四邊形，再根據(jù)AE=EC，即可得出四邊形AECD是菱形．
（2）①根據(jù)EC∥AD，∠ACB=∠CAF=60°，AG=GC=BC，可得AC=BF，四邊形ABCF是平行四邊形，進而得到四邊形ABCF是矩形．
②根據(jù)GF∥CD，可得△GFH∽△DCH，再根據(jù)CD=2GF，F(xiàn)H=2，可得CH=4，CF=6．根據(jù)Rt△CFD 中，tan30°=$\frac{DF}{CF}$，可得DF=2$\sqrt{3}$，CD=AD=4$\sqrt{3}$，據(jù)此可得四邊形AECD的面積．

解答 解：（1）證明：將Rt△ABC繞點C逆時針方向旋轉60°，得到△DGC，
∴AC=CD，
將Rt△ABC沿著AB所在直線翻轉180°，得到△ABE，
∴EC=2BC，AC=AE，
∴AE=CD，
在Rt△ABC 中，∠ACB=60°，∠CAB=30°，
∴AC=2BC，AC=AE，
∴AE=EC=CD，
又∠ACB=∠E=60°，∠DCE=∠ACB+∠DCG=60°+60°=120°，
∴∠E+∠DCE=60°+120°=180°，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
又AE=EC，
∴四邊形AECD是菱形．

（2）①四邊形ABCF是矩形．
理由如下：由（1）可知，EC∥AD，∠ACB=∠CAF=60°，AG=GC=BC．
∴△CBG和△AGF都是等邊三角形，且△CBG≌△AGF，
∴AG=GC=BG=GF，且AF=BC，
∴AC=BF，四邊形ABCF是平行四邊形，
∴四邊形ABCF是矩形．

②由①可知，∠CBF+∠BCD=60°+120°=180°
∴GF∥CD，
∴△GFH∽△DCH，
又CD=2GF，
∴$\frac{GF}{CD}$=$\frac{FH}{CH}$=$\frac{1}{2}$，
∵FH=2，
∴CH=4，CF=6．
在Rt△CFD 中，tan30°=$\frac{DF}{CF}$，
∴DF=2$\sqrt{3}$，CD=AD=4$\sqrt{3}$，
∴四邊形AECD的面積為：4$\sqrt{3}$×6=24$\sqrt{3}$．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了菱形的判定，矩形的判定以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，解題時注意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線相等的平行四邊形是矩形．