Question

14．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點(diǎn)M在第二象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，1），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)△ABC面積等于$\frac{3}{2}$時(shí)，求△ABM的面積．

Answer 1

分析 （1）將A、B代入拋物線的解析式中，可得出a、b的關(guān)系式，然后用a表示出拋物線的解析式．根據(jù)圖象首先肯定的是拋物線的開(kāi)口向下，因此a＜0，由于拋物線頂點(diǎn)在第二象限即拋物線對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在（-1，0）的左側(cè)，因此當(dāng)x=-1時(shí)，拋物線的值必大于0由此可求出a的取值范圍；
（2）根據(jù)拋物線的解析式（只含a一個(gè)待定系數(shù)的函數(shù)式）表示出頂點(diǎn)M和C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)題中給出的面積的等量關(guān)系式，可求出a的值，根據(jù)面積的和差，可得答案．

解答 解：（1）∵頂點(diǎn)M在第二象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（0，1）
∴拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，把A、B代入拋物線的解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，整理得b=-a-1，c=1，
∴拋物線的解析式為y=ax²-（a+1）x+1  ①，
∵頂點(diǎn)M在第二象限，
∴$\frac{a+1}{2a}$＜0，由于a＜0，
∴a+1＞0，-1＜a＜0；
（2）作MD⊥X軸于D點(diǎn)，
∵S_△ABC=$\frac{3}{2}$，∴$\frac{1}{2}$AC×1=$\frac{3}{2}$，
∴AC=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入①，得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$²-$\frac{1}{2}$x-1=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{5}{4}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），
S_△ABM=S_AOB+S_梯形BMDO-S_△ADM=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{5}{4}$）×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）×$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是圖形的割補(bǔ)法．