Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．
（1）如圖1，若△BPQ∽△BCA，求t的值；
（2）如圖2，連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求$\frac{AQ}{CP}$的值；
（3）證明：PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況討論：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，再根據(jù)BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計(jì)算即可；
（2）過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，PM=3t，根據(jù)△ACQ∽△CMP，得出$\frac{AQ}{CP}$=$\frac{CQ}{MP}$，即可；
（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，先得出DF=$\frac{PE+QC}{2}$，再把QC=4t，PE=8-BM=8-4t代入求出DF，過(guò)BC的中點(diǎn)R作直線平行于AC，得出RC=DF，D在過(guò)R的中位線上，從而證出PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
由運(yùn)動(dòng)知，BP=5t，QC=4t，
①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，
∵$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，
∴t=1；
②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，
∵$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，
∴t=$\frac{32}{41}$，
∴t=1或$\frac{32}{41}$時(shí)，△BPQ與△ABC相似；

（2）如圖1所示，在Rt△ABC中，sinB=$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，
則有PB=5t，PM=PBsinB=3t，
由運(yùn)動(dòng)知，CQ=4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴$\frac{AQ}{CP}=\frac{CQ}{PM}$=$\frac{4t}{3t}$=$\frac{4}{3}$；

（3）如圖，作PM⊥BC于點(diǎn)M，PQ的中點(diǎn)設(shè)為D點(diǎn)，作PE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，

∵∠ACB=90°，
∴DF為梯形PECQ的中位線，
∴DF=$\frac{PE+QC}{2}$，
∵QC=4t，PE=BC-BM=8-BM=8-4t，
∴DF=$\frac{8-4t+4t}{2}$=4，
∵BC=8，
過(guò)BC的中點(diǎn)R作直線平行于AC，
∴RC=DF=4成立，
∴D在過(guò)R的中位線上，
∴PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等，關(guān)鍵是畫出圖形作出輔助線構(gòu)造相似三角形，注意分兩種情況討論．