Question

15．如圖，一架梯子AB長2.5m，頂端A靠在墻AC上，此時，梯子下端B與墻角C距離為1.5m，現(xiàn)梯子滑動后停在A′B′的位置上，測得BB′長為0.5m．
（1）求梯子頂端A下落了多少米？（即求AA′的長）
（2）設(shè)梯子的中心為O，試問在梯子滑動過程中，點O到墻角C的距離是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出OC的長；
（3）在梯子的滑動過程中，請求出△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC；在Rt△A′CB′中，得到A′C的長度，再求AA′的長即可．
（2）根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案；
（3）根據(jù)AC²+BC²=AB²≥2AC•BC可得AC•BC≤$\frac{25}{8}$，再由S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•CB可得答案．

解答 解：（1）∵AB=2.5m，BC=1.5m，
∴AC=$\sqrt{2．{5}^{2}-1．{5}^{2}}$=2（m），
∵BB′長為0.5m，
∴CB′=2m，
∴A′C=$\sqrt{2．{5}^{2}-{2}^{2}}$=1.5（m），
∴AA′=2-1.5=0.5（m）；

（2）點O到墻角C的距離不發(fā)生變化，
CO=$\frac{1}{2}$AB=1.25米；

（3）∵AC²+BC²=AB²≥2AC•BC，
∴2AC•BC≤2.5²，
∴AC•BC≤$\frac{25}{8}$，
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•CB≤$\frac{1}{2}×\frac{25}{8}$，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{25}{16}$．

點評 此題主要考查了勾股定理得應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．