Question

7．如圖，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）在第一象限內(nèi)的一支，點(diǎn)A，P是圖象上的兩點(diǎn)，作AB⊥x軸，AC⊥y軸，PQ⊥x軸，PR⊥AB，垂足分別是B，C，Q，R，且四邊形ABOC與四邊形PQBR都是正方形．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求正方形ABOC與正方形PQBR的邊長(zhǎng)；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，求正方形ABOC與正方形PQBR的邊長(zhǎng)；
（3）試求出第（1），（2）題中的正方形ABOC與正方形PQBR的邊長(zhǎng)之比，你發(fā)現(xiàn)其比有何特征？再請(qǐng)你探索一下，對(duì)于任意的k（k＞0）你所發(fā)現(xiàn)的特征是否還成立？

Answer 1

分析 （1）由k=1，利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到AC•AB=1，再由四邊形ABOC為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到AC=AB，確定出A坐標(biāo)，進(jìn)而求出正方形ABOC的邊長(zhǎng)，設(shè)出P的坐標(biāo)，將P坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，即為正方形PQBR的邊長(zhǎng)；
（2）由k=2，同理求出正方形ABOC與正方形PQBR的邊長(zhǎng)即可；
（3）分別求出（1）和（2）中兩正方形邊長(zhǎng)之比，發(fā)現(xiàn)之比為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，對(duì)于任意的k（k＞0），同理表示出兩正方形邊長(zhǎng)，求出之比即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，可得AC•AB=1，
∵四邊形ABOC為正方形，
∴AC=AB=1，即A（1，1），即正方形ABOC的邊長(zhǎng)為1，
設(shè)正方形PQBR的邊長(zhǎng)為m（m＞0），可得P（1+m，m），
把P代入在雙曲線y=$\frac{1}{x}$中，得：m（m+1）=1，
解得：m=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（負(fù)值舍去），
則正方形PQBR的邊長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
（2）k=2時(shí)，同理得到A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
設(shè)正方形PQBR邊長(zhǎng)為m（m＞0），可得P（$\sqrt{2}$+m，m），
把P坐標(biāo)代入反比例解析式得：m（m+$\sqrt{2}$）=2，
解得：m=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$．
則正方形PQBR邊長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$；
（3）第（1），（2）題中的正方形ABOC與正方形PQBR的邊長(zhǎng)之比為1：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
對(duì)于任意正數(shù)k，同理可得A（$\sqrt{k}$，$\sqrt{k}$），
設(shè)正方形PQBR邊長(zhǎng)為m，可得P（$\sqrt{k}$+m，m），
把P坐標(biāo)代入反比例解析式得：m（$\sqrt{k}$+m）=k，
整理得：m²+$\sqrt{k}$m-k=0，
解得：m=$\frac{-\sqrt{k}+\sqrt{5k}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$•$\sqrt{k}$，
∴正方形ABOC與正方形PQBR的邊長(zhǎng)之比$\sqrt{k}$：m=1：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，對(duì)于k＞0時(shí)，以上結(jié)論都成立．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．