Question

3．如圖，菱形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，DE⊥AB，E是垂足，DE=3，EB=1，則tan∠AOE=（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由菱形ABCD中，DE⊥AB，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得OE=OB，繼而求得∠ADB=∠ABD=∠OEB，則可得∠BAD=∠BOE，繼而證得∠AOE=∠ADE，再設(shè)AD=x，則AE=AB-B=x-1，由勾股定理，即可求得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，OB=OD，AC⊥BD，OB=OD，
∴OE=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠OBE=∠OEB，
∵AB=AD，
∴∠OBE=∠ADB，
∴∠BAD=∠BOE，
∵∠BAD+∠ADE=90°，∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠ADE，
設(shè)AD=x，則AE=AB-B=x-1，
∵DE⊥AB，DE=3，
∴AD²=AE²+DE²，
∴x²=3²+（x-1）²，
解得：x=5，
∴AD=AB=5，AE=4，
∴tan∠AOE=tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{4}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)．注意證得∠AOE=∠ADE是關(guān)鍵．