Question

8．如圖，在矩形ABCD中，AD=8，直線DE交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于F，AE=6且AE=2EB．則圓心在直線BC上，且與直線DE、AB都相切的⊙O的半徑長(zhǎng)為$\frac{3}{2}$或6．

Answer 1

分析 分兩種情況討論：若⊙O₁與直線DE、AB都相切，且圓心O₁在AB的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)O₁作O₁G₁⊥DF于G₁，若⊙O₂與直線DE、AB都相切，且圓心O₂在AB的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)O₂作O₂G₂⊥DF于G₂，求出即可．

解答 解：∵AD∥BC，
∴△EBF∽△EAD，
∴$\frac{EF}{10}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{BF}{8}$，
∴EF=5，BF=4，
如圖1，若⊙O₁與直線DE、AB都相切，且圓心O₁在AB的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)O₁作O₁G₁⊥DF于G₁，
則可設(shè)O₁G₁=O₁B=r₁，
∵S_△EO1F+S_△EBO1=S_△EBF，
∴$\frac{1}{2}$r₁×5+$\frac{1}{2}$r₁×3=$\frac{1}{2}$×3×4，
解得：r₁=$\frac{3}{2}$，
若⊙O₂與直線DE、AB都相切，且圓心O₂在AB的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)O₂作O₂G₂⊥DF于G₂，
則可設(shè)O₂G₂=O₂B=r₂，
∵S_△FO2D=$\frac{1}{2}$FO₂×DC=$\frac{1}{2}$DF×O₂G₂，
∴$\frac{1}{2}$×（4+r₂）×（6+3）=$\frac{1}{2}$×（10+5）×r₂，
解得：r₂=6，
即滿足條件的圓的半徑為$\frac{3}{2}$或6；
故答案為：$\frac{3}{2}$或6．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．