Question

4．如圖，BC是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接AB交⊙O于點D，連接OD，已知AD=2，∠A=2∠B，則扇形BOD的面積是（　�。�

• A． 2π
• B． 4π
• C． $\sqrt{3}$π
• D． 2$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 連結CD，如圖，先利用圓周角定理和切線的性質得到∠BDC=90°，BC⊥AC，則利用∠A=2∠B可計算出∠B=30°，再判斷△ODC為等邊三角形得到OD=CD，∠OCD=60°，接著在Rt△ADC中利用含30度的直角三角形三邊的關系求出CD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，則OD=2$\sqrt{3}$，然后根據扇形面積公式計算扇形BOD的面積．

解答 解：連結CD，如圖，
∵BC是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，
∴∠BDC=90°，BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
而∠A=2∠B，
∴2∠B+∠B=90°，即得∠B=30°，
∴∠DOC=2∠B=60°，
∴△ODC為等邊三角形，
∴OD=CD，∠OCD=60°，
∴∠ACD=30°，
在Rt△ADC中，CD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，
∴OD=2$\sqrt{3}$
而∠BOD=180°-∠DOC=120°，
∴扇形BOD的面積=$\frac{120•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=4π．
故選B．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理和扇形的面積公式．