Question

14．在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，G與I分別是△ABC的重心和內(nèi)心，若GI∥BC，請找出a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 連接AG、AI且延長分別交BC于D、E，連接IC，則AD為中線，AE、CI為角平分線．根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及GI∥BC可得到$\frac{AI}{IE}$=$\frac{AG}{GD}$．在△CAE中，利用相似三角形的性質(zhì)定理易得到$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AI}{IE}$，即AC=2CE．同理AB=2BE．得到AB+AC=2（BE+CE）=2BC．

解答 解：2a=b+c，證明如下：
連接AG、AI且延長分別交BC于D、E，連接IC，則AD為中線，AE、CI為角平分線．
∵GI∥BC，
∴$\frac{AI}{IE}$=$\frac{AG}{GD}$=2．
在△CAE中，有$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AI}{IE}$=2，即AC=2CE，
同理AB=2BE．
∴AB+AC=2（BE+CE）=2BC，
即2a=b+c．

點(diǎn)評 本題考查三角形的五心．本題綜合性較強(qiáng)，考查知識點(diǎn)較深，是競賽類題目的首選，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形五心的性質(zhì)．