Question

9．如圖，已知拋物線C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²，平移拋物線y=x²，使其頂點(diǎn)D落在拋物線C₁位于y軸右側(cè)的圖象上，設(shè)平移后的拋物線為C₂，且C₂與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求拋物線C₂的解析式；
（2）拋物線C₂與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及過點(diǎn)A，B，C的圓的圓心E的坐標(biāo)；
（3）在過點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）且平行于x軸的直線上是否存在點(diǎn)F，使四邊形CEBF為菱形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)D（a，-$\frac{1}{2}$a²），進(jìn)而求出a的值得出函數(shù)解析式即可；
（2）利用y=0求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用|CE|=|AE|，求出m的值進(jìn)而得出答案；
（3）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合|BF|=|CF|=|CE|，再求出|FC|，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）由題意設(shè)D（a，-$\frac{1}{2}$a²），
假設(shè)拋物線C₂的解析式為：y=（x-a）²-$\frac{1}{2}$a²，
∵點(diǎn)C在拋物線C₂上，
∴將C（0，2）代入上式，
解得：a=±2，
∵點(diǎn)D在y軸右側(cè)，
∴a=2，
∴拋物線C₂的解析式為：y=（x-2）²-2；

（2）由題意，在y=（x-2）²-2中，令y=0，則x=2±$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，
∴A（2-$\sqrt{2}$，0），B（2+$\sqrt{2}$，0），
又∵過點(diǎn)A，B，C的圓的圓心一定在線段AB的垂直平分線上，
∴設(shè)E（2，m），且|CE|=|AE|，
則2²+（2-m）²=m²+（2-2+$\sqrt{2}$）²，
解得：m=$\frac{3}{2}$，
∴圓心E的坐標(biāo)為：（2，$\frac{3}{2}$）；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)F（t，$\frac{1}{2}$），使得四邊形CEBF為菱形，
則|BF|=|CF|=|CE|，
∴（$\frac{1}{2}$）²+（2+$\sqrt{2}$-t）²=（2-$\frac{1}{2}$）²+t²，
解得：t=$\sqrt{2}$，
當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，F(xiàn)（2，$\frac{1}{2}$），
此時(shí)|EC|=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
|FC|=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴|CF|=|BF|=|BE|=|EC|，
即存在點(diǎn)F（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），使得四邊形CEBF為菱形．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出F點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．