Question

2．在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD，
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，AC，DE相交于O點(diǎn)，在CE上截取CF=CD，連接OF，求線段FC的長(zhǎng)及四邊形AOFE的面積．
（3）在第（2）問(wèn)條件下，P是DA上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PO最小時(shí)，求DP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形判定得出平行四邊形，再根據(jù)矩形判定推出即可；
（2）分別求出AE、OH、CE、CF的長(zhǎng)，再求出三角形AEC和三角形COF的面積，即可求出答案；
（3）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)確定點(diǎn)P的位置．結(jié)合等邊三角形的重心的性質(zhì)來(lái)求線段DP的長(zhǎng)度．

解答 （1）證明：∵CE∥AD且CE=AD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC（等腰三角形三線合一性質(zhì)），
∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCE是矩形；

（2）解：∵△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為4，
∴AC=4，∠DAC=30°，
∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2$\sqrt{3}$，
∵四邊形ADCE為矩形，
∴OC=OA=2，
∵CF=CO，
∴CF=2，
過(guò)O作OH⊥CE于H，
∴OH=$\frac{1}{2}$OC=1，
∴S_{四邊形AOFE}=S_△AEC-S_△COF=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×1=2$\sqrt{3}$-1．

（3）如圖，由（2）知，△ABC是等邊三角形，且四邊形ADCE為矩形，則易得點(diǎn)O關(guān)于直線AD對(duì)稱的點(diǎn)O′是AB的中點(diǎn)，
連接O′C，O′C與AD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O′是AB的中點(diǎn)，
∴線段AD和線段O′C都是等邊△ABC的中線，
∴點(diǎn)P是△ABC的重心，
∴DP=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}$×4×cos30°=$\frac{1}{3}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題目是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，難度適中．