Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y=a（x-2）²-10a與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）如圖1，求AB的長；
（2）如圖1，直線y=kx與拋物線y=a（x-2）²-10a交于點E，點E的橫坐標(biāo)為6，過點E作EG∥AB交拋物線于另一點G，作GD∥y軸交x軸于點F，交直線EO于點D，求證：GF=3DF；
（3）如圖2，在（2）的條件下，連接EC，當(dāng)∠ECO=45°時，點P為第四象限拋物線上一點，過點P作直線PQ⊥x軸于點R，直線PQ交直線DE于點Q，連接PD、DR、ER、EF，當(dāng)S_△PRD-S_△PRO=S_△EFD時，求點P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令y=0求出A、B兩點坐標(biāo)，即可求出AB的值．
（2）想辦法求出E、G、D坐標(biāo)，即可求出GF、DF，由此即可解決問題．
（3）如圖3中，設(shè)EG交y軸于M，由∠ECO=45°，EG⊥CM，推出∠MCE=∠MEC=45°，EM=MC=6，12a=6，推出a=$\frac{1}{2}$，可得F（-2，0），D（-2，-1），E（6，3），拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-5，即y=$\frac{1}{2}$x²-2x-3，設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-3），根據(jù)S_△PRD-S_△PRO=S_△EFD，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=a（x-2）²-10a，令y=0得到a（x-2）²-10a=0，
解得x=2±$\sqrt{10}$，
∴B（2+$\sqrt{10}$，0），A（2-$\sqrt{10}$，0），
∴AB=2+$\sqrt{10}$-2+$\sqrt{10}$=2$\sqrt{10}$．

（2）如圖1中，

∵直線y=kx與拋物線y=a（x-2）²-10a交于點E，點E的橫坐標(biāo)為6，
∴E（6，6a），
把E（6，6a）代入y=kx得到k=a，
∴直線的解析式為y=ax，
∵點E、G關(guān)于直線x=2對稱，
∴G（-2，6a），
∵GD∥y軸，
∴D（-2，-2a），
∴GF=6a，DF=2a，
∴GF=3DF．

（3）如圖3中，設(shè)EG交y軸于M，

由題意，C（0，-6a），M（0，6a），
∵∠ECO=45°，EG⊥CM，
∴∠MCE=∠MEC=45°，
∴EM=MC=6，
∴12a=6，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴F（-2，0），D（-2，-1），E（6，3），拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-5，即y=$\frac{1}{2}$x²-2x-3，
設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-3），
∵S_△PRD-S_△PRO=S_△EFD，
∴$\frac{1}{2}$•（m+2）•（-$\frac{1}{2}$m²+2m+3）-$\frac{1}{2}$•m•（-$\frac{1}{2}$m²+2m+3）=$\frac{1}{2}$•1•8，
整理得m²-4m-2=0，解得m=2+$\sqrt{6}$或2-$\sqrt{6}$（舍棄），
∴點P坐標(biāo)為（2+$\sqrt{6}$，-2）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．