Question

9．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，以AD為邊向正方形外作等腰直角三角形ADE，則BE的長為$\sqrt{10}$、4或2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分∠AED=90°、∠DAE=90°以及∠ADE=90°三種情況考慮，通過構(gòu)建直角三角形，利用正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)找出直角邊的長度，利用勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：AD為邊向正方形外作等腰直角三角形ADE分三種情況，如圖所示．
①當∠AED=90°時，過點E作EF⊥BA延長線于點F，連接BE，
∵正方形ABCD的邊長為2，△AED為等腰直角三角形，
∴AF=EF=$\frac{1}{2}$AD=1．
在Rt△BFE中，BF=AB+AF=2+1=3，EF=1，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
②當∠DAE=90°時，
∵正方形ABCD的邊長為2，△AED為等腰直角三角形，
∴AE=AD=2，
∴BE=AB+AE=2+2=4；
③當∠ADE=90°時，連接BE，
∵正方形ABCD的邊長為2，△AED為等腰直角三角形，
∴DE=AD=2，
在Rt△BCE中，BC=2，CE=CD+DE=2+2=4，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{10}$、4或2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是分∠AED=90°、∠DAE=90°以及∠ADE=90°三種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，分類討論是關(guān)鍵．