Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，AB=2，連接AC．
（1）求證：∠CAB=45°；
（2）若直線l為⊙O的切線，C是切點，在直線l上取一點D，使BD=AB，BD所在的直線與AC所在的直線相交于點E，連接AD．
①試探究AE與AD之間的是數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②$\frac{EB}{CD}$是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑知∠ACB=90°，由$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$即AC=BC可得答案；
（2）分∠ABD為銳角和鈍角兩種情況，①作BF⊥l于點F，證四邊形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，結(jié)合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度數(shù)可得；②同理BF=$\frac{1}{2}$BD，即可知∠BDC=30°，分別求出∠BEC、∠ADB即可得；
（3）分D在C左側(cè)和點D在點C右側(cè)兩種情況，作EI⊥AB，證△CAD∽△BAE得$\frac{AC}{BA}$=$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，即AE=$\sqrt{2}$CD，結(jié)合EI=$\frac{1}{2}$BE、EI=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，可得BE=2EI=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$CD=2CD，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=$\frac{180°-90°}{2}$=45°；

（2）①當(dāng)∠ABD為銳角時，如圖2所示，作BF⊥l于點F，

由（1）知△ACB是等腰直角三角形，
∵OA=OB=OC，
∴△BOC為等腰直角三角形，
∵l是⊙O的切線，
∴OC⊥l，
又BF⊥l，
∴四邊形OBFC是矩形，
∴AB=2OC=2BF，
∵BD=AB，
∴BD=2BF，
∴∠BDF=30°，
∴∠DBA=30°，∠BDA=∠BAD=75°，
∴∠CBE=∠CBA-∠DBA=45°-30°=15°，
∴∠DEA=∠CEB=90°-∠CBE=75°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；
②當(dāng)∠ABD為鈍角時，如圖3所示，

同理可得BF=$\frac{1}{2}$BD，即可知∠BDC=30°，
∵OC⊥AB、OC⊥直線l，
∴AB∥直線l，
∴∠ABD=150°，∠ABE=30°，
∴∠BEC=90°-（∠ABE+∠ABC）=90°-（30°+45°）=15°，
∵AB=DB，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ABE=15°，
∴∠BEC=∠ADE，
∴AE=AD；

（3）①如圖2，當(dāng)D在C左側(cè)時，
由（2）知CD∥AB，∠ACD=∠BAE，∠DAC=∠EBA=30°，
∴△CAD∽△BAE，
∴$\frac{AC}{BA}$=$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴AE=$\sqrt{2}$CD，
作EI⊥AB于點I，
∵∠CAB=45°、∠ABD=30°，
∴BE=2EI=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$CD=2CD，
∴$\frac{BE}{CD}$=2；
②如圖3，當(dāng)點D在點C右側(cè)時，過點E作EI⊥AB于I，
由（2）知∠ADC=∠BEA=15°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ACD，
∴△ACD∽△BAE，
∴$\frac{AC}{BA}$=$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$AE=\sqrt{2}$CD，
∵BA=BD，∠BAD=∠BDA=15°，
∴∠IBE=30°，
∴BE=2EI=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$CD=2CD，
∴$\frac{BE}{CD}$=2．

點評 本題主要考查圓的綜合問題，熟練掌握切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓心角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．