Question

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)英語(yǔ)的興趣，某中學(xué)舉行了校園英文歌曲大賽，并設(shè)立了一、二、三等獎(jiǎng)。學(xué)校計(jì)劃根據(jù)設(shè)獎(jiǎng)情況共買50件獎(jiǎng)品，其中購(gòu)買二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品件數(shù)比一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品件數(shù)的2倍件數(shù)還少10件，購(gòu)買三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品所花錢數(shù)不超過二等獎(jiǎng)所花錢數(shù)的1.5倍，且三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品數(shù)不能少于前兩種獎(jiǎng)品數(shù)之和．其中各種獎(jiǎng)品的單價(jià)如下表所示，如果計(jì)劃一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品買x件，買50件獎(jiǎng)品的總費(fèi)用是w元．

(1)用含有x的代數(shù)式表示：該校團(tuán)委購(gòu)買二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品多少件，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品多少件？并表示w與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)請(qǐng)問共有哪幾種方案？

(3)請(qǐng)你計(jì)算一下，學(xué)校應(yīng)如何購(gòu)買這三種獎(jiǎng)品，才能使所支出的總費(fèi)用最少，最少是多少元？

 

Answer 1

（1）購(gòu)買二等獎(jiǎng)為（2x-10）件；購(gòu)買三等獎(jiǎng)為（60-3x）件，w=17x+200；（2）20種方案；（3）當(dāng)購(gòu)買一等獎(jiǎng)10件，二等獎(jiǎng)10件，三等獎(jiǎng)30件時(shí)所花的費(fèi)用最少，最少為370元．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品買x件，則二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品件數(shù)比一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品件數(shù)的2倍還少10件為（2x-10），進(jìn)一步表示出三等獎(jiǎng)；分別算出三種獎(jiǎng)品的費(fèi)用相加即是總費(fèi)用；

（2）再根據(jù)題意列出不等式組即可求解；

（3）一次函數(shù)的系數(shù)k=17，故根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知w隨x的增大而增大．根據(jù)題（1）可求最小值．

（1）購(gòu)買二等獎(jiǎng)為（2x-10）件；購(gòu)買三等獎(jiǎng)為（60-3x）件．

w=12x+10（2x-10）+5[50-x-（2x-10）]=17x+200；

（2）由題意可得：

，

解得：10≤x＜20，

∵x為整數(shù)，

∴共有20種方案；

（3）∵k=17＞0，

∴w隨著x的增大而增大，

∴當(dāng)x=10時(shí)，w有最小值，最小值為w=17×10+200=370（元）．

答：當(dāng)購(gòu)買一等獎(jiǎng)10件，二等獎(jiǎng)10件，三等獎(jiǎng)30件時(shí)所花的費(fèi)用最少，最少為370元．

考點(diǎn)：1.一次函數(shù)的應(yīng)用；2.一元一次不等式組的應(yīng)用．