Question

16．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）求證：AC=AE；
（2）若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，CD=4，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求出△ACD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2CD=8，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答 （1）證明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}\\{∠C=∠AED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE；

（2）解：∵DE⊥AB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∵CD=DE=4，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=8，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能推出△ACD≌△AED和求出∠B=30°是解此題的關(guān)鍵．