Question

3．（1）如圖（1），已知，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度數(shù)；  
（2）如圖（2），已知AF平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)E，過(guò)F作FD⊥BC，若∠B=x°，∠C=（x+36）°，
①∠CAE=72°-x°（含x的代數(shù)式表示）
②求∠F的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，再根據(jù)角平分線與高線的定義得到∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=50°，∠ADC=90°，則∠CAD=90°-∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠CAD計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意可知∠B=x°，∠C=（x+36）°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠ADC+∠DAC+∠C=180°，∠ADC=∠B+∠BAF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可知∠EAC=∠BAF，可得出∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)FD⊥BC，可得出∠F的度數(shù)．

解答 解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，
∵AD是△ABC角平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=50°，
∵AE分別是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°；    
（2）①∵∠B=x°，∠C=（x+36）°，AF平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAF，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}×$[180°-x°-（x+36）°]=72°-x°，
②∠AEC=∠BAE+∠B=72°，
∵FD⊥BC，
∴∠F=18°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的角平分線、中線和高以及三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的角平分線、中線和高的概念，正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．