Question

18．在精準(zhǔn)對(duì)口扶貧活動(dòng)中，甲單位將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種專賣店以5.8萬(wàn)元的優(yōu)惠價(jià)轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬(wàn)元無(wú)息貸款還沒(méi)有償還的乙戶，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證乙戶的一家人每月最低生活費(fèi)的開(kāi)支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)（不計(jì)利息）．從甲單位提供的相關(guān)資料中可知這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)是每件14元；月銷售量Q（百件）與銷售單價(jià)P（元）的關(guān)系如圖所示；維持的正常運(yùn)轉(zhuǎn)每月需工資外的各種開(kāi)支2000元．
（1）寫出月銷售量Q（百件）與銷售單價(jià)P（元）的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)商品的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，扣除一家人最低生活費(fèi)后的月利潤(rùn)余額最大？
（3）乙戶依靠該店，最早可望在幾年內(nèi)脫貧？

Answer 1

分析 （1）代入點(diǎn)（20，10）（30，5）即可求得Q與P的函數(shù)關(guān)系式；
（2）月利潤(rùn)為W，可得出W關(guān)于P的二次函數(shù)，即可解題；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，根據(jù)每月都是最大利潤(rùn)時(shí)脫貧需要月份即可解題．

解答 （1）由圖象可知，月銷售量Q（百件）與銷售單價(jià)P（元）是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)Q=Px+b，
則代入（20，10）（30，5），可得$\left\{\begin{array}{l}{10=20P+b}\\{5=30P+b}\end{array}\right.$，
解得：P=-$\frac{1}{2}$，b=20，
∴月銷售量Q（百件）與銷售單價(jià)P（元）的函數(shù)關(guān)系式為Q=-$\frac{1}{2}$P+20；
（2）設(shè)月利潤(rùn)為W，則有W=100 Q（P-14）-（2000+3600）
=100（-$\frac{1}{2}$P+20）（x-14）-（2000+3600）
=-50P²+2700P-33600，
當(dāng)P=-$\frac{2700}{2×（-50）}$=27時(shí)，W有最大值；
∴當(dāng)銷售單價(jià)為27元時(shí)，月利潤(rùn)余額最大；
（3）設(shè)x 年內(nèi)可脫貧，由（2）知當(dāng)P=27時(shí)，W有最大值為2850，
當(dāng)月利潤(rùn)為2850元時(shí)，需要2850×12x≥50000+58000，
解得：x≥3.2，
∴乙戶依靠該店，最早可望在3.2年內(nèi)脫貧．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大月利潤(rùn)的問(wèn)題常利用二次函數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．