Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P、Q兩點同時從點A出發(fā)，點P沿AC邊運動，速度為每秒1個單位：點Q沿A→C→B運動，速度為每秒2個單位，以PQ為邊，在PQ左側(cè)作正方形PQRS（P、Q、R、S按順時針方向標記）．設(shè)點P的運動時間為t（秒），正方形PQRS與△ABC的重疊部分的面積為S（平方單位）．
（1）求tanC的值．
（2）求點R在BC邊上時t的值．
（3）當0＜t＜2.5時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當0＜t＜5時，直接寫出點R在△ABC內(nèi)部的t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AD⊥BC于D，在Rt△ADC中，求出AD即可解決問題；
（2）分兩種情形①如圖2中，當Q在AC上時，R在BC上．②如圖3中，當Q在BC上時，R在BC上．分別求解即可；
（3）當0＜t＜$\frac{20}{11}$時，S=t²，當$\frac{20}{11}$＜t＜2，5時，S=t²-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$[t-$\frac{4}{3}$（5-2t）]²=-$\frac{97}{24}$t²+$\frac{55}{3}$t-$\frac{50}{3}$；
（4））①由（2）可知當0＜t＜$\frac{20}{11}$時，點R在△ABC內(nèi)部；
②如圖4中，當點R在AB上，點Q在BC上時，作RH⊥BC于H，PD⊥BC于D．求出此時t的值即可解決問題；

解答 解：（1）如圖1中，作AD⊥BC于D．

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{25-9}$=4，
∴tanC=$\frac{AD}{DC}$=$\frac{4}{3}$．

（2）①如圖2中，當Q在AC上時，R在BC上．

易知CQ=5-2t，QP=QR=t，
∴tanC=$\frac{RQ}{CQ}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{t}{5-2t}$=$\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{20}{11}$．
②如圖3中，當Q在BC上時，R在BC上．

易知QC=2t-5，PC=5-t，
cosC=$\frac{QC}{PC}$=$\frac{3}{5}$，
∵$\frac{2t-5}{5-t}$=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{40}{13}$，
綜上所述，點R在BC上時，t的值為$\frac{20}{11}$s或$\frac{40}{13}$s．

（3）當0＜t＜$\frac{20}{11}$時，S=t²，
當$\frac{20}{11}$＜t＜2，5時，S=t²-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$[t-$\frac{4}{3}$（5-2t）]²=-$\frac{97}{24}$t²+$\frac{55}{3}$t-$\frac{50}{3}$．

（4）①由（2）可知當0＜t＜$\frac{20}{11}$時，點R在△ABC內(nèi)部．
②如圖4中，當點R在AB上，點Q在BC上時，作RH⊥BC于H，PD⊥BC于D．

易證△QRH≌△QPD，可得PD=HQ=$\frac{4}{5}$（5-t），QD=PH=2t-5-$\frac{3}{5}$（5-t），BH=6-HQ-QC=6-$\frac{4}{5}$（5-t）-（2t-5），
在Rt△BRH中，tanB=$\frac{RH}{BH}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{2t-5-\frac{3}{5}（5-t）}{6-\frac{4}{5}（5-t）-（2t-5）}$=$\frac{4}{3}$，
解得t=$\frac{260}{63}$，
觀察圖象可知，$\frac{40}{13}$＜t＜$\frac{260}{63}$時，點R在△ABC內(nèi)部
綜上所述，點R在△ABC內(nèi)部時，0＜t＜$\frac{20}{11}$或$\frac{40}{13}$＜t＜$\frac{260}{63}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會利用特殊位置取值范圍問題，屬于中考壓軸題．