Question

11．如圖，一長度為10的線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)A、C分別在y軸和x軸的正半軸上滑動(dòng)，以A為直角頂點(diǎn)，AC為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，連接BO．
（1）求OB的最大值；
（2）在AC滑動(dòng)過程中，△OBC能否恰好為等腰三角形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點(diǎn)D，連接OD、BD．構(gòu)建三邊關(guān)系OB≤OD+BD，求出OD、OB即可解決問題；
（2）作BE⊥y軸于E．分三種情形分類討論①由EA＜AB＜OB，EA=OC，推出OC＜OB，即OC≠OB．②由OC＜OA＜BC，即OC≠BC．③當(dāng)OB=BC時(shí)，作BF⊥x軸于F，則OF=FC=BE，設(shè)OA=a，則BE=a，OC=2a，由OA²+OC²=AC²，構(gòu)建方程即可；

解答 解：（1）取AC的中點(diǎn)D，連接OD、BD．
在Rt△ABC中，∵AC=AB=10，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=5，AD=DB=5，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵OB≤OD+BD，
∴OB的最大值為5+5$\sqrt{5}$．

（2）作BE⊥y軸于E．
∵∠BEA=∠AOC=90°，∠BAC=90°，
∴∠EBA=∠OAC，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAO，
∴BE=OA，
∴AE=OC．
①∵EA＜AB＜OB，EA=OC，
∴OC＜OB，即OC≠OB．
②∵OC＜OA＜BC，即OC≠BC．
③當(dāng)OB=BC時(shí)，作BF⊥x軸于F，則OF=FC=BE，
設(shè)OA=a，則BE=a，OC=2a，
由OA²+OC²=AC²，a²+4a²=10²，解得a=2$\sqrt{5}$，
∴A（0，2$\sqrt{5}$），
綜上所述，當(dāng)A（0，2$\sqrt{5}$）時(shí)，△OBC是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加輔助線解決問題，屬于中考�？碱}型．