Question

10．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．⊙M過A、B、C三點(diǎn)，P是拋物線上一點(diǎn)，連接PA，當(dāng)PA與⊙M相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 連接AM，過M作MN⊥AB于M，過P作PH⊥x軸于H，由AP是⊙M的切線，得到AM⊥AP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AN}{PH}=\frac{MN}{AH}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：連接AM，過M作MN⊥AB于M，過P作PH⊥x軸于H，
∵AP是⊙M的切線，
∴AM⊥AP，
∴∠MAN+∠PAN=∠PAN+∠APH=90°，
∴∠MAN=∠APH，
∴△AMN∽△PHA，
∴$\frac{AN}{PH}=\frac{MN}{AH}$，
∵M(jìn)（1，-1），
設(shè)P（m，m²-2m-3），
∴$\frac{2}{{m}^{2}-2m-3}$=$\frac{1}{m+1}$，
∴m=5，m=-1（舍去），
∴P（5，12）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．