Question

20．如圖，已知拋物線$y=-\frac{1}{3}{x^2}+\frac{2}{3}x+5$與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，有一寬度為1的刻度尺沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對(duì)邊交拋物線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，交直線AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N都在線段AC上時(shí)，連接EN，如果點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），求sin∠ANE的值；
（3）在刻度尺平移過(guò)程中，當(dāng)以點(diǎn)P、Q、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可結(jié)論；
（2）先確定出AF=FN=2，GE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再利用勾股定理求出NE=$\sqrt{5}$，即可得出結(jié)論；
（3）先確定出直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+5．再分MN為邊和對(duì)角線兩種情況，建立方程求解即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=0得：$-\frac{1}{3}{x^2}+\frac{2}{3}x+5$=0，解得x=5或x=-3．
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分為（5，0）、（-3，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=5，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．

（2）如圖1，作EG⊥AC，垂足為點(diǎn)G．

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），
∴OE=4．
∵OA=OC=5，
∴AE=1，∠OAC=45°．
∴AF=FN=2，GE=AE•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
在Rt△EFN中，依據(jù)勾股定理可知NE=$\sqrt{E{F}^{2}+F{N}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠ANE=$\frac{GE}{EN}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
（3）設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．
將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}5k+b=0\\ b=5\end{array}\right.$，
解得k=-1，b=5．
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+5．
①當(dāng)MN為邊時(shí)，如圖2所示：

設(shè)點(diǎn)Q（n，$-\frac{1}{3}{n^2}+\frac{2}{3}n+5$），
則點(diǎn)P（n+1，$-\frac{1}{3}{n^2}+\frac{16}{3}$），點(diǎn)N（n，-n+5）M（n+1，-n+4）．
∵QN=PM
∴$（-\frac{1}{3}{n^2}+\frac{2}{3}n+5）-（-n+5）=（-\frac{1}{3}{n^2}+\frac{16}{3}）-（-n+4）$，解得n=2．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3）．
②當(dāng)MN是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖3所示：

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，0），
則N（m，-m+5），M（m+1，-m+4），
Q（m，$-\frac{1}{3}{m^2}+\frac{2}{3}m+5$），P（m+1，$-\frac{1}{3}{m^2}+\frac{16}{3}$）．
∵QN=PM，
∴$（-m+5）-（-\frac{1}{3}{m^2}+\frac{2}{3}m+5）=（-\frac{1}{3}{m^2}+\frac{16}{3}）-（-m+4）$，解得m=2±$\sqrt{6}$．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2+$\sqrt{6}$，3-$\sqrt{6}$）或（2-$\sqrt{6}$，3+$\sqrt{6}$）．
綜上所述，以點(diǎn)P、Q、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3）
或（2+$\sqrt{6}$，3-$\sqrt{6}$）或（2-$\sqrt{6}$，3+$\sqrt{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是求出NE的長(zhǎng)，解（3）的關(guān)鍵是分MN為平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種情況，用方程的思想解決問(wèn)題，是一道中考�？碱}．