Question

19．如圖1，AB為⊙O的直徑，C為半徑AO上一點(diǎn)，過C作CP⊥AB交⊙O于P，F(xiàn)為劣弧$\widehat{BP}$上一點(diǎn)，射線BF交射線CP于E，D為PE上一點(diǎn)，連DF，且DE=DF．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）如圖2，若P為$\widehat{AF}$中點(diǎn)，sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，BF=2，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊對(duì)等角和直角三角形的兩銳角互余得：∠DFO=90°，可得結(jié)論；
（2）如圖2，作輔助線，先根據(jù)垂徑定理得：FH=BH=1，利用同角的三角函數(shù)列式可得：sin∠FOH=$\frac{1}{3}$=$\frac{FH}{OF}$，
OF=3，設(shè)DE=DF=x，在直角△COD和直角△DFO中利用勾股定理列方程可得結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，∵DE=DF，
∴∠E=∠DFE，
∵OF=OB，
∴∠B=∠OFB，
∴∠B+∠E=∠DFE+∠OFB，
∵CP⊥AB，
∴∠PCB=90°，
∴∠E+∠B=90°，
∴∠DFE+∠OFB=90°，
即∠DFO=90°，
∴DF⊥OF，
∴DF為⊙O的切線；

（2）如圖2，連接OF，過O作OH⊥BF于H，
∴FH=BH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵∠OFD=90°，
∴∠DFE+∠OFB=90°，
∵∠FOH+∠OFB=90°，
∴∠DFE=∠FOH，
∵sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠FOH=$\frac{1}{3}$=$\frac{FH}{OF}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{OF}$，
∴OF=3，
連接OP，OD，
∵P是$\widehat{AF}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{PF}$，
∴∠POA=∠ABF，
∴OP∥BE，
∴∠POH=∠OHB=90°，
∴∠POC+∠BOH=90°，
∵∠POC+∠CPO=90°，
∴∠CPO=∠BOH，
∵OP=OB=3，∠PCO=∠OHB=90°，
∴△PCO≌△OHB，
∴OC=BH=1，
設(shè)DE=DF=x，
sin∠CEB=sin∠DFE=$\frac{1}{3}$=$\frac{BC}{BE}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{1+3}{BE}$，
∴BE=12，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{1{2}^{2}-{4}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
∴CD=8$\sqrt{2}$-x，
由勾股定理得：CD²-CO²=DF²-OF²，
（8$\sqrt{2}$-x）²+1²=x²+3²，
x=$\frac{15\sqrt{2}}{4}$，
∴DF=$\frac{15\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)和判定、同角的三角函數(shù)、勾股定理、三角形全等的性質(zhì)和判定、垂徑定理，屬于常考題型，是圓中常見的計(jì)算題，第2問的關(guān)鍵是利用勾股定理列方程是關(guān)鍵．