Question

2．如圖，在?ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，∠B、∠C的平分線分別交AD于E，F(xiàn)，連結(jié)BE、CE，兩線交于點G
（1）求證：AE=DF；
（2）求EF的長；
（3）若FG=$\frac{1}{2}$cm，求?ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明AB=AE、DF=CD，即可解決問題．
（2）求出AF、DE，根據(jù)EF=AD-AF-DE即可解決問題．
（3）先求出CF的長，發(fā)現(xiàn)△FCD是等邊三角形，求出高CN，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB，∠FCD=∠FCB=∠DFC，
∴AB=AE=2，DC=DF=2，
∴AE=DF．

（2）由（1）可知，AE=DF=2，
∵BC=AD=3，
∴AF=DE=1，
∴EF=AD-AE-DE=1．

（3）如圖2中，作CN⊥AD于N．

∵EF∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{FG}{GC}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{\frac{1}{2}}{CG}$，
∴CG=$\frac{3}{2}$，CF=FG+CG=2，
∴CF=DF=CD=2，
∴CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
∴S_{平行四邊形ABCD}=BC×CN=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、角平分線定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．