Question

7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC、AC、AB邊的長分別記為a、b、c，點E是BC邊上一個動點（點E與點B、C不重合），連接AE．已知a、b滿足$\left\{\begin{array}{l}{b-6=0}\\{2a-b=10}\end{array}\right.$，且c是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$的最大整數(shù)解．
（1）求a、b、c的長．
（2）線段AE將△ABC分為△ABE和△ACE，若這兩個三角形的周長相等，求CE的長．
（3）將△ACE沿直線AE折疊，使點C恰好落在AB邊上的點C′處，求此時CE的長．（若需要，請自己畫出符合題意的圖形）

Answer 1

分析 （1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{b-6=0}\\{2a-b=10}\end{array}\right.$與不等式組組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$即可；（2）利用三角形的周長的定義與線段BC、BE、CE之間（BE=BC-CE）的關系分析求解；（3）由對稱的性質(zhì)得
AC=AC′，可求得BC′的長，再證明△BED∽△BC′A，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得CE的長．

解答 解：（1）∵a、b滿足$\left\{\begin{array}{l}{b-6=0}\\{2a-b=10}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=6}\end{array}\right.$
∵c是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$的最大整數(shù)解，
解得：-4≤x＜11，
∴c=10．
即：a=8，b=6，c=10．
（2）∵C_△ABE=C_△ACE，
∴AC+EC+AE=AB+BE+AE，
又∵BE=BC-CE，
∴AC+EC+AE=AB+（BC-CE）+AE，
∴CE=AB-AC+（BC-CE），
    2CE=AB-AC+BC
      CE=$\frac{1}{2}$（10-6+8）=6
即：CE的長為6．
（3）如下圖所示：

∵將△ACE沿直線AE折疊，點C恰好落在AB邊上的點C′處，
∴∠ACE=∠EC′A=90°，AC=AC′，CE=C′E，
∴BC′=4，
在△BED和△BC′A中，$\left\{\begin{array}{l}{∠C′BE=∠CBA}\\{∠BC′E=∠BCA}\end{array}\right.$
∴△BED∽△BC′A，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{ED}{AC}$
即：$\frac{4}{10}=\frac{ED}{6}$，
∴CE=ED=$\frac{12}{5}$

點評 本題考查了解方程組、解不等式組、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解題的關鍵是熟練掌握各個知識點及其之間的聯(lián)系．