Question

18．小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究：
問題情境：如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為DC邊的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，求證：S_{四邊形ABCD}=S_△ABF（S表示面積）
問題遷移：如圖2：在已知銳角∠AOB內(nèi)有一個定點P．過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N．小明將直線MN繞著點P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，△MON的面積存在最小值，請問當(dāng)直線MN在什么位置時，△MON的面積最小，并說明理由．
實際應(yīng)用：如圖3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情，防疫部門計劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站P的一條直線MN為隔離線，建立一個面積最小的三角形隔離區(qū)△MON．若測得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，試求△MON的面積．（結(jié)果精確到0.1km²）（參考數(shù)據(jù)：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 問題情境：根據(jù)可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE就可以得出結(jié)論；
問題遷移：根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點P是MN的中點時S△MON最小，過點M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；
實際運用：如圖3，作PP₁⊥OB，MM₁⊥OB，垂足分別為P₁，M₁，再根據(jù)條件由三角函數(shù)值就可以求出結(jié)論．

解答 問題情境：證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE．
又∵點E是CD的中點，
∴DE=CE，
∴在△ADE與△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠FCE}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴S_△ADE=S_△FCE，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形ABCE}+S_△ADE=S_{四邊形ABCE}+S_△FCE=S_△ABF；

問題遷移：出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點P是MN的中點時S_△MON最小，如圖2，
過點P的另一條直線EF交OA、OB于點E、F，設(shè)PF＜PE，過點M作MG∥OB交EF于G，
由問題情境可以得出當(dāng)P是MN的中點時S_{四邊形MOFG}=S_△MON．
∵S_{四邊形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴當(dāng)點P是MN的中點時S_△MON最�。�

實際運用：如圖3，作PP₁⊥OB，MM₁⊥OB，垂足分別為P₁，M₁，
在Rt△OPP₁中，
∵∠POB=30°，
∴PP₁=$\frac{1}{2}$OP=2，OP₁=2$\sqrt{3}$．
由問題遷移的結(jié)論知道，當(dāng)PM=PN時，△MON的面積最小，
∴MM₁=2PP₁=4，M₁P₁=P₁N．
在Rt△OMM₁中，
tan∠AOB=$\frac{M{M}_{1}}{O{M}_{1}}$，
2.25=$\frac{4}{O{M}_{1}}$，
∴OM₁=$\frac{16}{9}$，
∴M₁P₁=P₁N=2$\sqrt{3}$-$\frac{16}{9}$，
∴ON=OP₁+P₁N=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$-$\frac{16}{9}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{16}{9}$．
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$ON•MM₁=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-$\frac{16}{9}$）×4=8$\sqrt{3}$-$\frac{32}{9}$≈10.3km²．

點評 本題考查了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，四邊形的面積公式的運用，三角形的面積公式的運用，分類討論思想的運用，解答時建立數(shù)學(xué)模型解答是關(guān)鍵．