Question

3．如圖，已知直線l：y=$\frac{1}{2}$x+2與y軸交于點D，過直線l上一點E作EC丄y軸于點C，且C點坐標為（0，4），過C、E兩點的拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）動點Q從點C出發(fā)沿線段CE以1單位/秒的速度向終點E運動，過點Q作QF⊥ED于點F，交BD于點H，設(shè)點Q運動時間為t秒，△DFH的面積為S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式（并直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）若動點P為直線CE上方拋物線上一點，連接PE，過點E作EM⊥PE交線段BD于點M，當△PEM是等腰直角三角形時，求四邊形PMBE的面積．

Answer 1

分析 （1）先確定出點E的縱坐標，進而利用一次函數(shù)解析式得出點E的坐標，然后結(jié)合點C、E的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）先證明△QEF∽△DEC進而用t表示EF，并用勾股定理求出DE，進而用t表示DF，然后求出B點坐標，并求出BD的長，過B作BN⊥DE于N，設(shè)直線DE與x軸交于點M，利用△BDM的面積求出BN的長，再利用∠NDB的正弦函數(shù)求出其度數(shù)，可得到△FDH為等腰直角三角形，最后利用三角形的面積公式列式化簡即可；
（3）首先判斷出點D、M、E、P在以MP為直徑的圓上，進而利用圓周角定理可知∠PDM=90°，∠PCE=∠PME=45°，則有CG=PG，據(jù)此求出點P的坐標，然后利用勾股定理的逆定理得到∠DPE=90°，可判斷四邊形PDME是矩形，進而判斷四邊形PMBE是平行四邊形，再利用平行四邊形的面積求法列式計算即可．

解答 解：（1）∵CE⊥y軸，C（0，4），且E在直線y=$\frac{1}{2}$x+2上，
∴E點的縱坐標為4，
由$\frac{1}{2}$x+2=4，得x=4，
∴E（4，4），
把C、E兩點坐標代入拋物線解析式得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-\frac{16}{3}+4b+c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4；

（2）由直線y=$\frac{1}{2}$x+2與y軸交于點D，得D（0，2），
如圖1，由題意可知CQ=t，QE=4-t，DC=2，則DE=$\sqrt{D{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
∵∠QEF=∠DEC，∠QFE=∠DCE=90°，
∴△QEF∽△DEC，
∴QE：DE=EF：EC，即（4-t）：$2\sqrt{5}$=EF：4，
解得EF=$-\frac{2\sqrt{5}}{5}t+\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴DF=DE-EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}t+\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4，令y=0，得-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4=0，
解得x₁=-2，x₂=6，
∴B（6，0），
∴BD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{B}^{2}}$=$2\sqrt{10}$，
過B作BN⊥DE于N，設(shè)直線DE與x軸交于點M，則M（-4，0），DM=$\sqrt{O{F}^{2}+O{D}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
∴S_△BDM=$\frac{1}{2}$DM•BN=$\frac{1}{2}$BM•OD，
∴BN=$\frac{BF•OD}{DM}$=$2\sqrt{5}$，
∴sin∠NDB=$\frac{BN}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠NDB=45°，
∴△FDH是等腰直角三角形，DF=FH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}t+\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$DF•FH=$\frac{1}{2}（\frac{2\sqrt{5}}{5}t+\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}$=$\frac{2}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t+$\frac{2}{5}$，
即S=$\frac{2}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t+$\frac{2}{5}$（0≤t≤4）；

（3）如圖2，過P作PG⊥CE于G，設(shè)P（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+4），連接PC、PD，
∵△PEM是等腰直角三角形，PE=EM，
∴∠EPM=∠EMP=45°，
又∵∠EDM=45°，
∴點D、M、E、P在以MP為直徑的圓上，
∴∠PDM=90°，∠PCE=∠PME=45°（圓周角定理），
∴CG=PG，
∵PG=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+4-4=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m，
∴-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m=m，
∴m=1或m=0（不合題意，舍去），
∴P（1，5），
∴PG=CG=1，GE=3，PE=$\sqrt{P{G}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，ME=$\sqrt{10}$，
∴DP=$\sqrt{{1}^{2}+（5-2）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴DP²+PE²=DE²，
∴∠DPE=90°，
又∵∠PDM=90°，∠PEM=90°，
∴四邊形PDME是矩形，
∴PE∥BD，PE=DM=$\sqrt{10}$，
∴BM=BD-DM=$\sqrt{10}$，
∴BM=PE，
∴四邊形PMBE是平行四邊形，
∴四邊形PMBE的面積為PE•ME=$\sqrt{10}$•$\sqrt{10}$=10．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，平行四邊形和矩形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，涉及的知識較多，綜合性較強，具有一定的難度，解答本題時要注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的運用．