Question

9．如圖，在矩形ABCD（AD＞AB）中，P為BC邊上的一點，AP=AD，過點P作PE⊥PA交CD于E，連接AE并延長交BC的延長線于F．
（1）求證：△APE≌△ADE；
（2）若AB=3，CP=1，試求BP，CF的長；
（3）在（2）的條件下，連結PD，若點M為AP上的動點，N為AD延長線上的動點，且PM=DN，連結MN交PD于G，作MH⊥PD，垂足為H，試問當M、N在移動過程中，線段GH的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變，求出GH的長．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠APE=∠D=90°，即可得出結論；
（2）先求出CD=AB=3，進而利用勾股定理求出CE=$\frac{4}{3}$，DE=$\frac{5}{3}$，再△ABP∽△PCE，即可得出BP=4即可得出結論；
（3）先判斷出MI=DN，進而判斷出△MGH≌△NGD，最后用勾股定理即可得出結論．

解答 （1）證明：
∵在矩形ABCD中，∠D=90°，又PE⊥PA，
∴∠APE=∠D=90°，
又∵AP=AD，AE=AE，
∴△APE≌△ADE
（2）由△APE≌△ADE得DE=PE
∵AB=3，
∴CD=AB=3
∴在Rt△PCE中，設CE=x，則PE=3-x，
∴（3-x）²=x²+1²，解得x=$\frac{4}{3}$
∴CE=$\frac{4}{3}$，DE=$\frac{5}{3}$
又∵∠B=∠BCD=∠APE=90°
∴∠PEC+∠CPE=90°，∠APB+∠CPE=90°
∴∠PEC=∠APB
∴△ABP∽△PCE
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{CE}{CP}$，得BP=4
∴在Rt△ABP中，AP=AD=5，
又∵AD∥BC
∴$\frac{CF}{AD}=\frac{CE}{DE}=\frac{4}{5}$
∴CF=4
（3）沒有變化H
如圖2，

作MI∥DN交PD于I
∵AD=AP，MI∥DN
∴∠ADP=∠APD，∠ADP=∠MIP
∴∠APD=∠MIP
∴MI=PM
又∵MH⊥PD
∴PH=HI
又∵PM=DN
∴MI=DN
∴∠MGI=∠DGN，∠IMG=∠DNG，
∴△MGH≌△NGD
∴GI=GD
∴GH=GI+IH=$\frac{1}{2}$PD
∴在Rt△ABP中，PD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴GH=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解（1）的關鍵是判斷出，∠APE=∠D=90°，解（2）的關鍵是求出CE=$\frac{4}{3}$，DE=$\frac{5}{3}$，解（3）的關鍵是判斷出MI=DN．