Question

14．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，E是AB上的點(diǎn)，⊙O是以BC為直徑的圓．
（1）如圖1，若DE與⊙O相切于點(diǎn)F，求BE的長；
（2）如圖2，若AO⊥DE，垂足為F，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BE=x，則AE=8-x，先證明AB和CD都是⊙O的切線，則根據(jù)切線長定理得到EF=BE=x，DF=DC=8，然后理由勾股定理得到（8-x）²+8²=（8+x）²，從而解方程求出x即可；
（2）通過證明△ADF≌△OAB得到AE=OB=4，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．．

解答 解：（1）設(shè)BE=x，則AE=8-x，
∵⊙O是以BC為直徑的圓，AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB和CD都是⊙O的切線，
∵DE與⊙O相切于點(diǎn)F，
∴EF=BE=x，DF=DC=8，
在Rt△AED中，∵AE²+AD²=DE²，
∴（8-x）²+8²=（8+x）²，解得x=2，
即BE的長為2；

（2）∵AO⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
而∠DAF+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ADF，
在△ADF和△OAB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠ABO}\\{∠ADF=BAO}\\{DA=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△OAB，
∵AO=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠EAF=∠BAO，∠AFE=∠ABO=90°，
∴△AEF∽△AOF，
∴$\frac{EF}{OB}=\frac{AE}{AO}$，
∴EF=$\frac{AE•OB}{AO}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；靈活應(yīng)用切線長定理．也考查了正方形的性質(zhì)．