Question

4．如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，CO=CP=4，弦AB垂直平分OC．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）求證：PB是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）由OA=OB，弦AB⊥OC，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長(zhǎng)；
（2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線．

解答 （1）解：∵弦AB垂直平分OC，
∴BCBO，
∵OB=OC，
∴OB=BC=CO，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC=OC=2；

（2）證明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，
∴OB⊥BP，
∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．