Question

12．如圖1，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CEF，∠ABC=∠CEF=90°，點(diǎn)C，B，E在同一條直線上，M是AF的中點(diǎn)．
（1）求證：MB∥CF；
（2）將△CEF繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在射線AB上，如圖2，猜想BM與EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，證明BM為△ADF的中位線即可；
（2）取AC，CF的中點(diǎn)P，Q，連接BP，EQ，MQ，PM，設(shè)PN交EQ于點(diǎn)N，由M是AF的中點(diǎn)，得到PM是△ACF的中位線，推出四邊形CQMP是平行四邊形，得到BP=PC=MQ，PM=CQ=QE，∠3=∠4，證得△BPM≌△EMQ，得出BM=ME，BMP=∠MEQ，由于EQ⊥CF，PM∥CF求出EQ⊥PM，得到∠MNE=90°由等量代換得出∠PMB+∠5=90°，于是得出答案BM⊥EM．

解答 解：（1）如圖1，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，
∵△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，
∴BM為△ADF的中位線，
∴BM∥CF；

（2）BM=EM，BM⊥EM，
如圖2，取AC，CF的中點(diǎn)P，Q，連接BP，EQ，MQ，PM，
設(shè)PN交EQ于點(diǎn)N，
∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，
∴PM∥CF，PM=$\frac{1}{2}$CF=CQ，
∴四邊形CQMP是平行四邊形，
∴BP=PC=MQ，PM=CQ=QE，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
在△PBM與△EMQ中$\left\{\begin{array}{l}{PB=MQ}\\{∠3=∠4}\\{PM=QE}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△EMQ，
∴BM=ME，∠BMP=∠MEQ，
∵EQ⊥CF，PM∥CF，
∴EQ⊥PM，
∴∠MNE=90°，
∴∠MEQ+∠5=90°，
∴PMB+∠5=90°，
∴BM⊥EM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．