Question

10．如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點”．
解決問題：
（1）如圖①，∠A=∠B=∠DEC=45°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”，并說明理由；
（2）如圖②，在矩形ABCD中，已知AB=2$\sqrt{3}$，BC=3，M是AD邊上的一點，將矩形ABCD沿CM折疊，點D恰好落在AB邊上的點E處，求證：點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個“強(qiáng)相似點”．

Answer 1

分析 （1）由∠A=∠B=∠DEC=45°，可求得∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°，可證得∠ADE=∠CEB，繼而可得△ADE∽△BEC，則可證得結(jié)論；
（2）由在矩形ABCD中，已知AB=2$\sqrt{3}$，BC=3，將矩形ABCD沿CM折疊，點D恰好落在AB邊上的點E處，可求得CE=CD=AB=2$\sqrt{3}$，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得∠BCE=30°，繼而可得∠A=∠B=∠MEC=90°，∠AEM=∠BCE=∠MCE=30°，然后證得△AEM∽△BCE∽△ECM，則可得點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個“強(qiáng)相似點”．

解答 （1）解：點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”．
理由：∵∠A=∠B=∠DEC=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°，
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

（2）證明：∵在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=3，
∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，CD=AB=2$\sqrt{3}$，AD=BC=3，
由折疊的性質(zhì)可得：∠MEC=∠D=90°，CE=CD=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠BCE=$\frac{BC}{CE}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BCE=30°，
∴∠MCE=∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCE=30°，∠BEC=90°-∠BCE=60°，
∴∠AEM=90°-∠BEC=30°，
∴∠A=∠B=∠MEC=90°，∠AEM=∠BCE=∠MCE=30°，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個“強(qiáng)相似點”．

點評 此題屬于相似三角形的綜合題．考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．注意充分理解“相似點”與“強(qiáng)相似點”的定義是關(guān)鍵．