Question

3．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，點D在線段BC上，點E在CB的延長線上，∠EAD=45°．
（1）求證：△EAD∽△ECA；
（2）若∠AED=75°，求證：DE=2CD；
（3）過C作CF⊥BC交AD延長線于F，連EF，若P、Q兩點分別同時從B點出發(fā)，以相同的速度沿B→E→F和B→C→F運動，問點P、點Q誰先到達，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可證明．
（2）如圖2中，作AM⊥FC交FC的延長線于M，在MC上截取MN=EB，連接AN．只要證明△ABE≌△AMN，推出∠EAB=∠MAN，AE=AN，推出△FAE≌△FAN，推出∠AFE=∠AFN=30°即可解決問題．
（3）點P與點Q同時到達目的地．只要證明BE+EF=BC+CF即可．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∵∠EAD=45°，
∴∠EAD=∠ACE，∵∠AED=∠CEA，
∴△EAD∽△ECA；

（2）證明：如圖2中，作AM⊥FC交FC的延長線于M，在MC上截取MN=EB，連接AN．

∵CF⊥CB，
∴∠ABC=∠BCM=∠M=90°，
∴四邊形ABCM是矩形，
∵BA=BC，
∴四邊形ABCM是正方形，
∵AB=AM，∠ABE=∠M，EB=MN，
∴△ABE≌△AMN，
∴∠EAB=∠MAN，AE=AN
∵∠EAD=45°，
∴∠EAB+∠BAD=∠MAN+∠BAD=45°，
∵∠MAB=90°，
∴∠FAN=45°=∠FAE，∵FA=FA，AE=AN，
∴△FAE≌△FAN，
∴∠AFE=∠AFN，
∵∠AED=75°，∠EAD=45°，
∴∠ADE=∠FDC=60°，∵∠DCF=90°，
∴∠AFE=∠AFC=30°，
∴DF=2CD，
∵∠FDC=∠DEF+∠DFE=60°，
∴∠DEF=∠DFE=30°，
∴DE=DF=2CD，
即DE=2CD；

（3）解：結(jié)論：點P與點Q同時到達目的地．理由如下：
如圖2中，∵△FAE≌△FAN，
∴EF=BN，∵BE=MN，
∴EB+EF=MN+FN=FM，BC+CF=CM+CF=FM，
∴BE+EF=BC+CF，
∴若P、Q兩點分別同時從B點出發(fā)，以相同的速度沿B→E→F和B→C→F運動，點P與點Q同時到達目的地．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)．正方形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．