Question

14．從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線于對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的優(yōu)美線．
（1）如圖，在△ABC中，AD為角平分線，∠B=50°，∠C=30°，求證：AD為△ABC的優(yōu)美線．
（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的優(yōu)美線，且△ABD是以AB為腰的等腰三角形，求∠BAC的度數(shù)．
（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的優(yōu)美線，且△ABD是等腰三角形，求優(yōu)美線AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的優(yōu)美線的定義，只要證明△ABD是等腰三角形，△CAD∽△CBA即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，分兩種情形討論求解①若AB=AD，△CAD∽△CBA，則∠B=∠ADB=∠CAD，則AC∥BC，這與△ABC這個(gè)條件矛盾；②若AB=BD，△CAD∽△CBA；
（3）如圖3中，分三種情形討論①若AD=BD，△CAD∽△CBA，則$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，設(shè)BD=AD=x，CD=y，可得$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{2}{x+y}$，解方程即可；②若AB=AD=4，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，設(shè)BD=AD=x，CD=y，可得$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{2}{4+y}$，解方程即可；③若AB=AD，顯然不可能；

解答 解：（1）如圖1中，

∵∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=50°，
∴∠B=∠BAD=50°，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠C=∠C，∠DAC=∠B=50°，
∴△CAD∽△CBA，
∴線段AD是△ABC的優(yōu)美線．

（2）如圖2中，

若AB=AD，△CAD∽△CBA，則∠B=∠ADB=∠CAD，則AC∥BC，這與△ABC這個(gè)條件矛盾；
若AB=BD，△CAD∽△CBA，∠B=46°，
∴∠BAD=∠BDA=67°，
∵∠CAD=∠B=46°，
∴∠BAC=67°+46°=113°．

（3）如圖3中，

若AD=BD，△CAD∽△CBA，
則$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，設(shè)BD=AD=x，CD=y，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{2}{x+y}$，
解得x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
若AB=AD=4，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，設(shè)BD=AD=x，CD=y，
可得$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{2}{4+y}$，解得y=-2+2$\sqrt{2}$，x=4$\sqrt{2}$-4（負(fù)根已經(jīng)舍棄），
∴AD=4$\sqrt{2}$-4．
若AB=AD，顯然不可能，
綜上所述，AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或4$\sqrt{2}$-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．