Question

11．在△ABC中，AB=AC，D在AC上，AE=AC交BD的延長線于點(diǎn)E，AF平分∠CAE交BE于F
（1）如圖1，連CF，求證：∠ABE=∠ACF；
（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，請寫出AF、EF、BF的數(shù)量關(guān)系，不需證明；
（3）如圖3，若∠BAC=90°，且BD平分∠ABC，求證：BD=2EF．

Answer 1

分析 （1）由于AB=AE，因此只需證△FAE≌△FAC即可；
（2）在BF上截取BG=EF，再證AF=GF即可，也就是證三角形AFG是等邊三角形即可，由所給條件結(jié)合（1）中結(jié)論可知AF=CF=EF，結(jié)論顯然；
（3）由（1）中結(jié)論可知∠ABE=∠ACF，從而馬上可得∠BFC=90°，延長CF交BA于點(diǎn)H，則由三線合一可知CH=2CF=2EF，因此只需證BD=CH即可，也就只需證△ABD與△ACH全等，結(jié)論顯然．

解答 解：（1）∵AB=AC，AE=AC，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵AF平分∠CAE交BE于F，
∴∠FAE=∠FAC，
在△FAE和△FAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=FA}\\{∠FAE=∠FAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠AEF=∠ABE；
（2）在BD上截取BG=EF，連接CF，如圖2，

在△ABG和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=EA}\\{∠ABG=∠AEG}\\{BG=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AEF（SAS），
∴AG=AF，
∵BA=BC，BD平分∠ABC，
∴BD垂直平分AC，∠ABG=∠AEF=30°
∴FA=FC，
∵FC=FE，
∴AF=EF，
∴AG=BG，
∴∠AGF=∠AFG=60°，
∴△AGF是等邊三角形，
∴AG=GF=AF，
BF=BG+GF=AF+EF；
（3）連接CF并延長交BA于點(diǎn)H，如圖3，

∵∠ABD=∠ACF，∠BAD=90°，
∴∠CFD=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴CF=FH，
在△ABD和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAH}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACH}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACH（ASA），
∴BD=CH=2CF=2EF．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，難度中等．解答本題的關(guān)鍵在于識別和構(gòu)造全等三角形并尋找全等的條件，注意三線合一等常見結(jié)論的應(yīng)用．