Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)M在邊AC上，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB與點(diǎn)N，將△MNA沿著MN折疊，恰好點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合．
（1）若∠A=30°，求證：CM=NM；
（2）若BC=1，AC=$\sqrt{2}$，求此時(shí)CM的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，∠A=30°可求得∠ABC=60°，然后由翻折的性質(zhì)可知∠NBM=30°，從而可求得∠CBM=∠NBM=30°，最后由角平分線的性質(zhì)可證明CM=NM；
（2）設(shè)CM=x，則MA=$\sqrt{2}-x$，由翻折的性質(zhì)可知：MA=BM=$\sqrt{2}-x$，最后在Rt△BCM中由勾股定理可求得x的值．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°．
由翻折的性質(zhì)可知：∠NBM=∠A=30°．
∴∠CBM=∠NBM=30°．
又∵M(jìn)N⊥AB，BC⊥CA，
∴CM=NM．
（2）CM=x，則MA=$\sqrt{2}-x$．
由翻折的性質(zhì)可知：MA=BM=$\sqrt{2}-x$．
在Rt△BCM中，由勾股定理可知：MB²=CM²+BC²，即$（\sqrt{2}-x）^{2}={x}^{2}+{1}^{2}$．
解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故CM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、利用勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．