Question

10．在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx-3經過點A（-1，0）和點B（2，-1），交y軸于點C，BD⊥x軸于點D，連接AB、AC．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點P是拋物線上在直線AB下方的動點，直線PH⊥x軸，交AB于點H，當PH=$\frac{5}{3}$時，求點P的坐標；
（3）將△AOC沿y軸向上平移，將△ABD沿x軸向左平移，兩個三角形同時開始平移，且平移的速度相同．設△AOC平移的距離為t，平移過程中兩個三角形重疊部分的面積為S，當0＜t＜$\frac{9}{4}$時，請直接寫出S與t的函數表達式及自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題；
（2）如圖1中，設P（m，$\frac{5}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-3），求出BC的解析式為，可得點H的坐標，求出PH（用t表示），列出方程即可解決問題；
（3）首先說明重疊部分是四邊形EOFH，構建一次函數求出點H坐標，根據S=S_△EOH+S_△OFH計算即可解決問題；

解答 解：（1）把點A（-1，0）和點B（2，-1）代入y=ax²+bx-3
得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{4a+2b-3=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{5}{3}$x-3．

（2）如圖1中，設P（m，$\frac{4}{3}$m²-$\frac{5}{3}$m-3），

∵A（-1，0），B（2，-1），
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
∵直線PH⊥x軸，交AB于點H，
∴H（m，-$\frac{1}{3}$m-$\frac{1}{3}$），
∴PH=-$\frac{1}{3}$m-$\frac{1}{3}$-（$\frac{4}{3}$m²-$\frac{5}{3}$m-3）=$\frac{5}{3}$，
解得m=$\frac{3}{2}$或-$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{11}{6}$）．

（3）如圖2中，

設A₂C₁交A₁B₁于H，交x軸于E，A₁B₁交y軸于F，連接OH．
∵OF∥B₁D₁，
∴$\frac{O{A}_{1}}{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{OF}{{B}_{1}{D}_{1}}$，
∴OF=$\frac{1}{3}$t，
當OF=OC₁時，$\frac{1}{3}$t=3-t，t=$\frac{9}{4}$，
∴當0＜t＜$\frac{9}{4}$時，重疊部分是四邊形EOFH．
易知A₁（-1-t，0），B₁（2-t，-1），A₂（-1，t），C₁（0，-3+t），
∴直線A₁B₁的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1+t}{3}$，直線A₂C₁的解析式為y=-3x-3+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-3+t}\\{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1+t}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2+t}{2}}\\{y=-\frac{t}{6}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{-2+t}{2}$．-$\frac{t}{6}$），
∴S=S_△EOH+S_△OFH=$\frac{1}{2}$•$\frac{3-t}{3}$•$\frac{t}{6}$+$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$t•$\frac{2-t}{2}$=-$\frac{1}{9}$t²+$\frac{1}{4}$t．（0＜t＜$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法、一元二次方程、一次函數的應用、四邊形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構建方程解決問題，學會利用一次函數確定兩直線的交點坐標，學會利用分割法求 四邊形的面積，屬于中考壓軸題．