Question

20．如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接CF、BD、BE
（1）求證：∠AFD=∠EBC；
（2）若E為△BCD的重心，求∠ACF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)可證明△CBE≌△CDE，可得∠CDE=∠EBC，再結(jié)合平行線的性質(zhì)可證得∠AFD=∠EBC；
（2）設(shè)DF交BC于點(diǎn)P，AC交BD于點(diǎn)O，可證明△DCP≌△FBP，可證明四邊形BFCD為平行四邊形，結(jié)合AC⊥BD，可求得∠ACF=90°．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴DC=BC，∠DCE=∠BCE，
在△DCE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=BC}\\{∠DCE=∠BCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC=∠EDC，
又∵AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC，
∴∠AFD=∠EBC；
（2）解：如圖，設(shè)DF交BC于點(diǎn)P，AC交BD于點(diǎn)O，

∵E為△BCD的重心，
∴P為BC中點(diǎn)，
∴BP=CP，
在△CPD和△BPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDP=∠PFB}\\{∠CPD=∠BPF}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△BPF（AAS），
∴DP=FP，
∴四邊形BFCD是平行四邊形，
∴FC∥BD，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACF=∠AOB=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中證得三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（2）中證明四邊形BFCD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵，注意靈活運(yùn)用SSS、SAS、ASA、AAS和HL．