Question

15．如圖1，已知線段BC=2，點B關于直線AC的對稱點是點D，點E為射線CA上一點，且ED=BD，連接DE，BE．
（1）依題意補全圖1，并證明：△BDE為等邊三角形；
（2）若∠ACB=45°，點C關于直線BD的對稱點為點F，連接FD、FB．將△CDE繞點D    順時針旋轉α度（0°＜α＜360°）得到△C′DE′，點E的對應點為E′，點C的對應點為點C′．
①如圖2，當α=30°時，連接BC′．證明：EF=BC′；
②如圖3，點M為DC中點，點P為線段C′E′上的任意一點，試探究：在此旋轉過程中，線段PM長度的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題畫圖，易證AC是BD的垂直平分線，得到ED=EB=BD，即可證明△BDE為等邊三角形；
（2）①易證∠EDB=∠FDC′=60°，∠EDF=BDC′，又DE=DB，DF=DC′于是△EDF≌△DBC′，得出結論；
②當E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共線時，PM有最小值．當點P與點E′重合，且P、D、M、C共線時，PM有最大值．

解答 解：（1）補全圖形，如圖1所示； 
證明：由題意可知：射線CA垂直平分BD，
∴EB=ED，
又∵ED=BD，
∴EB=ED=BD，
∴△EBD是等邊三角形；
（2）①證明：如圖2：由題意可知∠BCD=90°，BC=DC
又∵點C與點F關于BD對稱，
∴四邊形BCDF為正方形，
∴∠FDC=90°，CD=FD，
∵∠CDC′=α=30°，
∴∠FDC′=60°，
由（1）△BDE為等邊三角形，
∴∠EDB=∠FDC′=60°，ED=BD，
∴∠EDF=∠BDC′，
又∵△E′DC′是由△EDC旋轉得到的，
∴C′D=CD=FD，
∴△EDF≌△DBC′（SAS），
∴EF=BC′；
②線段PM的取值范圍是：$\sqrt{2}-1≤PM≤2\sqrt{2}+1$．
設射線CA交BD于點O，
I：如圖3（1）
當E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共線時，PM有最小值．
此時DP=DO=$\sqrt{2}$，DM=1，
∴PM=DP-DM=$\sqrt{2}-1$，
II：如圖3（2），
當點P與點E′重合，且P、D、M、C共線時，PM有最大值．
此時DP=DE′=DE=DB=$2\sqrt{2}$，DM=1，
∴PM=DP+DM=$2\sqrt{2}+1$，
∴線段PM的取值范圍是：$\sqrt{2}-1≤PM≤2\sqrt{2}+1$．

點評 本題主要考查了圖形的旋轉變換、等邊三角形的判定與性質、軸對稱的性質、正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、以及圖形中的最值問題的綜合運用，第三小題通過畫圖找到極限位置是解決問題的關鍵．