Question

7．如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC．若AB=6，CD=1，則EC的長為$\sqrt{73}$．

Answer 1

分析 首先連接BE，由⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB=6，CD=1，根據(jù)垂徑定理可求得AC=BC=3，然后設(shè)OA=x，利用勾股定理可得方程：3²+（x-1）²=x²，則可求得半徑的長，繼而利用三角形中位線的性質(zhì)，求得BE的長，又由AE是直徑，可得∠B=90°，繼而求得答案．

解答 解：連接BE，
∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB=6，
∴AC=BC=3，
設(shè)OA=x，
∵CD=1，
∴OC=x-1，
在Rt△AOC中，AC²+OC²=OA²，
∴3²+（x-1）²=x²，
解得：x=5，
∴OA=OE=5，OC=4，
∴BE=2OC=8，
∵AE是直徑，
∴∠B=90°，
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{73}$．
故答案為：$\sqrt{73}$．

點評 此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．