Question

4．在Rt△ABC中，∠C是直角，M是AB中點，I是內(nèi)心，若BI⊥IM，求BC：AC．

Answer 1

分析 延長MI角BC于N，作MH⊥BC于H，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，如圖，設(shè)BC=a，AC=b，⊙I的半徑為r，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和內(nèi)心的性質(zhì)得IE=ID=r，IB平分∠MBN，而BI⊥IM，則可判斷△AMN為等腰三角形，則可利用面積法得到MH=IE+ID=2r，再證明MH為△ABC的中位線得到MH=$\frac{1}{2}$b，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓半徑與三邊的關(guān)系得r=$\frac{a+b-AB}{2}$，即a+b-AB=$\frac{1}{2}$b，于是得到AB=a+$\frac{1}{2}$b，然后利用勾股定理得到（a+$\frac{1}{2}$b）²=a²+b²，再整理即可得到a與b的值．

解答 解：延長MI角BC于N，作MH⊥BC于H，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，如圖，
設(shè)BC=a，AC=b，⊙I的半徑為r，
∵I是內(nèi)心，
∴IE=ID=r，IB平分∠MBN，
∵BI⊥IM，
∴△AMN為等腰三角形，
∴MH=IE+ID=2r，
∵M是AB中點，
∴MH為△ABC的中位線，
∴MH=$\frac{1}{2}$b，
而r=$\frac{a+b-AB}{2}$，
∴a+b-AB=$\frac{1}{2}$b，
∴AB=a+$\frac{1}{2}$b，
∵AB²=a²+b²，
∴（a+$\frac{1}{2}$b）²=a²+b²，
整理得4a-3b=0，
∴$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，
即BC：AC=3：4．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．記住直角三角形的內(nèi)切圓半徑與三邊的關(guān)系（r=$\frac{a+b-c}{2}$，a、b為直角邊，c為斜邊）．