Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，PA、PC分別切⊙O于點(diǎn)A、C，延長PC交AB的延長線于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO的延長線于點(diǎn)E．若PC=6，sin∠PDA=$\frac{3}{5}$．
求：（1）OA的長；
（2）tan∠ODE的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線長定理可知PA=PC=6，由sin∠PDA=$\frac{3}{5}$可求得PD=10，AD=8，設(shè)OC=x，則OD=8-x，CD=4，在Rt△DOC中由勾股定理可求得OC的長，從而得到OA的長；
（2）先證明∠ODE=∠APO，然后根據(jù)PA和AO的長可求得tan∠ODE的值．

解答 解：（1）如圖所示：連接OC．

∵AB是圓O的直徑，∠PAB=90°，
∴PA是圓O的切線．
∵PD是圓O的切線，
∴PA=PC=6，OC⊥PD．
∵sin∠PDA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{PA}{PD}=\frac{3}{5}$，即$\frac{6}{PD}=\frac{3}{5}$．
∴PD=10．
∴CD=10-6=4．
∴AD=10×$\frac{4}{5}$=8．
設(shè)OC=x，則OD=8-x，在Rt△DOC中由勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3．
∴OA=3．
（2）∵在△POA和△DOE中，∠AOP=∠EOD，∠E=∠A，
∴∠ODE=∠OPA．
∴tan∠ODE=$\frac{OA}{PA}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義，在Rt△DOC中由勾股定理得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．