Question

5．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E，連接DE交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明．
（3）在（2）的條件下，若AB=AC=2$\sqrt{2}$，求正方形ADCE周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠CAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAM）=90°，根據(jù)垂線的定義，可得∠ADC=∠CEA，根據(jù)矩形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AD與CD的關(guān)系，根據(jù)正方形的判定，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得AD的長，根據(jù)正方形周長公式，可得答案．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAM．
∵∠BAC與∠CAM是鄰補(bǔ)角，
∴∠BAC+∠CAM=180°，
∴∠CAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAM）=90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四邊形ADCE為矩形；
（2）∠BAC=90°且AB=AC時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形，
證明：∵∠BAC=90°且AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD．
∵四邊形ADCE為矩形，
∴四邊形ADCE為正方形；
（3）解：由勾股定理，得
$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=AB，AD=CD，
即$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$，
AD=2，
正方形ADCE周長4AD=4×2=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了的正方形的判定與性質(zhì)，（1）利用了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定；（2）利用了正方形的判定；（3）利用了勾股定理，正方形的周長．