Question

17．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AM為∠BAC的平分線，若BC=20cm，則AM的長為$\frac{40}{3}$cm．

Answer 1

分析 過點M作DM⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CM=DM，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BM=2DM，然后求出CM，再求出∠CAM=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AM=2CM．

解答 解：如圖，過點M作DM⊥AB于D，
∵AM為∠BAC的平分線，∠C=90°，
∴CM=DM，
∵∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴BM=2DM，
∵BC=20cm，
∴BM+CM=2CM+CM=20，
解得CM=$\frac{20}{3}$cm，
∵∠BAC=60°，AM為∠BAC的平分線，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴AM=2CM=2×$\frac{20}{3}$=$\frac{40}{3}$cm．
故答案為：$\frac{40}{3}$．

點評 本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟記兩性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出含30°角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．