Question

20．問題：
如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=90°時，我們都知道，可以得到：AD•BC=AP•BP；
變式：
（1）如圖2，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，BC與x軸交于點D．過點A作EF⊥y軸，垂足為E，再過點B作BF⊥AF，垂足為F，若點A的坐標為（2，4），則點B的坐標為（8，1）．
探究：
（2）如圖3，在△ABC中，AB=6，AC=BC=4，點P以每秒1個單位的速度從點A出發(fā)，沿著AB邊向點B運動，且滿足∠A=∠CPD，設(shè)運動時間為t（秒），BD的長度為s，求s與t的函數(shù)解析式，并求出CD的最小值．
應(yīng)用：
（3）如圖4，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，4），N點坐標為（7，0），點P為線段ON上的動點，始終保持∠APM=∠AOP，射線PM交直線x=7于點M，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）如答圖1，利用材料中的知識得到：OE•BF=AE•AF，根據(jù)點的坐標與圖形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求得點B的坐標；
（2）如答圖2，根據(jù)材料中的知識得到變式：AC•BD=AP•BP，結(jié)合已知條件得到相關(guān)線段的長度，代入求值即可；
（3）在x軸上取點C，使得∠NCM=∠APM=∠AOP，設(shè)點P的坐標為（x，0），由（1）得：AO•MC=OP•PC，將相關(guān)線段的長度代入整理得到：x²-（7+3y）x+25y=0．由根的判別式推知[-（7+3y）]²-4×25y=9y²-58y+49=（9y-49）（y-1）≥0，由此求得最值．

解答 解：（1）如答圖1，∵A（2，4）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=xy=2×4=8，
則函數(shù)解析式是：y=$\frac{8}{x}$．
設(shè)B（a，$\frac{8}{a}$）．
依題意得：OE=4，BF=4-$\frac{8}{a}$，AE=2，AF=a-2，
∴由OE•BF=AE•AF得到：4（4-$\frac{8}{a}$）=2（a-2），
解得a=8，
故點B的坐標為：（8，1）．
故答案是：（8，1）；

（2）如答圖2，由題意，得：AP=t，BP=6-t，
∵AC=BC，∠A=∠B=∠CPD，
∴AC•BD=AP•BP，
∴4s=t（6-t）=6t-t²，
∴s=$-\frac{1}{4}{（t-3）^2}+\frac{9}{4}$，
當t=3時，t的最大值為$\frac{9}{4}$，此時CD的最小值為4-$\frac{9}{4}$=$\frac{17}{4}$．      

（3）在x軸上取點C，使得∠NCM=∠APM=∠AOP，設(shè)點P的坐標為（x，0），
所以AO=$\sqrt{{3^2}+{4^2}}$=5，
由（1）得：AO•MC=OP•PC，且有tan∠NCM=tan∠APM=$\frac{4}{3}$，
在Rt△MNC中，設(shè)CN=3y，則MN=4y，由勾股定理，得MC=$\sqrt{{{（3y）}^2}+{{（4y）}^2}}$=5y，
∴OP=x，PC=7+3y-x，
∴5×5y=x（7+3y-x），
整理，得：x²-（7+3y）x+25y=0．
∵x的值是存在的，
∴方程根的判別式=[-（7+3y）]²-4×25y=9y²-58y+49=（9y-49）（y-1）≥0，
∴y≤1，y≥$\frac{49}{9}$（舍去），4y=4，
因此，MN的最大值為4．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，勾股定理，二次函數(shù)最值的求法，點的坐標與圖形的性質(zhì)等知識點，理解并掌握圖1中提供的等式是解題的關(guān)鍵．