Question

19．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C（0，-3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點M是拋物線上一點，當(dāng)△ABM的面積等于△ABC的面積時，求點M的坐標(biāo)
（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．
①當(dāng)線段PQ=$\frac{3}{4}$AB時，求∠CED的余切值；
②點G是直線x=1上一點，當(dāng)△CEG與△AOC相似時，請直接寫出點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用對稱軸公式即可得出b的值，再利用拋物線與y軸交于點C（0，-3），求出拋物線解析式即可；
（2）分兩種情形①過C作AB的平行線，交拋物線于M₁，此時△M₁AB與△ABC的面積相等．點C關(guān)于x軸的對稱點C′（0，3），過C′作x軸的平行線，與拋物線交于點M₂，M₃，此時M₂，M₃也滿足條件，
（3）①首先求出直線BC的解析式，進(jìn)而得出D點坐標(biāo)，進(jìn)而得出EG和DG的長進(jìn)而求出即可；根據(jù)相似三角形的相似條件畫出圖形即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴-$\frac{2a}$=-$\frac{2}$=1，
∴b=-2
∵拋物線與y軸交于點C（0，-3），
∴c=-3，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x²-2x-3；

（2）如圖1中，

∵拋物線與x軸交于A、B兩點，
當(dāng)y=0時，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A點在B點左側(cè)，
∴A（-1，0），B（3，0）
①過C作AB的平行線，交拋物線于M₁，
此時△M₁AB與△ABC的面積相等．
根據(jù)對稱性可知點M₁坐標(biāo)為（2，-3），
②點C關(guān)于x軸的對稱點C′（0，3），過C′作x軸的平行線，與拋物線交于點M₂，M₃，
此時M₂，M₃也滿足條件，
對于拋物線y=x²-2x-3，
當(dāng)y=3時，x²-2x-3=3，解得x=1$±\sqrt{7}$，
∴M₂（1-$\sqrt{7}$，3），M₂（1+$\sqrt{7}$，3）．
綜上所述滿足條件的點M坐標(biāo)為（2，-3）或（1-$\sqrt{7}$，3）或（1+$\sqrt{7}$，3）．

（3）如圖2中，

①∵AB=4，PQ=$\frac{3}{4}$AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y軸
∴PQ∥x軸，
則由拋物線的對稱性可得PM=$\frac{3}{2}$，
∵對稱軸是直線x=1，
∴P到y(tǒng)軸的距離是 $\frac{1}{2}$，
∴點P的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）
∴F（0，-$\frac{7}{4}$），
∴FC=3-OF=3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$∵PQ垂直平分CE于點F，
∴CE=2FC=$\frac{5}{2}$，
∵點D在直線BC上，
∴當(dāng)x=1時，y=-2，則D（1，-2），
過點D作DG⊥CE于點G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$．
在Rt△EGD中，tan∠CED=$\frac{GD}{EG}$=$\frac{2}{3}$．

②如圖3中，當(dāng)△CEG與△AOC相似時，點E的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{3}$） 或（0，0）或（0，-$\frac{8}{3}$）或（0，-$\frac{10}{3}$）或（0，-6）或（0，-$\frac{19}{3}$）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型以及直角三角形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，利用直角三角形的性質(zhì)得出a的值是解題關(guān)鍵，學(xué)會分類討論的思想解決問題，注意最后一個問題答案比較多，考慮問題要全面，屬于中考壓軸題．