Question

16．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，連結(jié)CE交AD于點F，連結(jié)BD交CE于點G，連結(jié)BE．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（　�。�
①CE=BD；
②△ADC是等腰直角三角形；
③∠ADB=∠AEB；
④S_{四邊形BCDE}=$\frac{1}{2}$BD•CE；
⑤BC²+DE²=BE²+CD²．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=BD，判斷①正確；根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ABD=∠ACE，從而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，從而得到BD⊥CE，根據(jù)四邊形的面積判斷出④正確；根據(jù)勾股定理表示出BC²+DE²，BE²+CD²，得到⑤正確；再求出AE∥CD時，∠ADC=90°，判斷出②錯誤；∠AEC與∠BAE不一定相等判斷出③錯誤．

解答 解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD，故①正確；
∠ABD=∠ACE，
∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，
在△BCG中，∠BGC=180°-（∠BCG+∠CBG）=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE，
∴S_{四邊形BCDE}=$\frac{1}{2}$BD•CE，故④正確；
由勾股定理，在Rt△BCG中，BC²=BG²+CG²，
在Rt△DEG中，DE²=DG²+EG²，
∴BC²+DE²=BG²+CG²+DG²+EG²，
在Rt△BGE中，BE²=BG²+EG²，
在Rt△CDG中，CD²=CG²+DG²，
∴BE²+CD²=BG²+CG²+DG²+EG²，
∴BC²+DE²=BE²+CD²，故⑤正確；
只有AE∥CD時，∠AEC=∠DCE，
∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，
無法說明AE∥CD，故②錯誤；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠AEC與∠AEB相等無法證明，
∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有①④⑤共3個．
故選C

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．