Question

5．如圖：E，F(xiàn)，M，N分別是菱形ABCD四邊上的中點(diǎn)．
（1）試判斷四邊形EFMN是什么圖形，并證明你的結(jié)論；
（2）如果菱形邊長(zhǎng)為4，∠B=60°，根據(jù)（1）試求四邊形EFMN的周長(zhǎng)；
（3）當(dāng)四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)四邊形EFMN是菱形．

Answer 1

分析 （1）首先連接AC、BD．要證四邊形EFMN是矩形，只要證得NE⊥NM即可．先由菱形的對(duì)角線互相垂直，得AC⊥BD，再結(jié)合題意證得四邊形EFMN是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)，易證NE⊥NM，從而證得四邊形EFMN是矩形；
（2）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的性質(zhì)分別得出EF，EN的長(zhǎng)即可得出答案；
（3）利用菱形的判定方法結(jié)合中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)得出答案．

解答 解：（1）四邊形EFMN是矩形；
理由：連接AC、BD，
∵AC⊥BD，
∴E，F(xiàn)，M，N分別是菱形ABCD四條邊的中點(diǎn)．
∴NE∥BD，MF∥BD．
∴NE∥MF．
同理，得：NM∥AC，EF∥AC．
∴NM∥EF．
∴四邊形EFMN是平行四邊形．
∵NE∥BD，AC⊥BD，
∴NE⊥AC．
∵NM∥AC，
∴NE⊥NM．
∴平行四邊形EFMN是矩形；

（2）∵菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠B=60°，
∴AB=BC=4，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=4，
則EF=MN=2，
∵菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠B=60°，
∴∠ABD=30°，則AO=2，
∴BO=2$\sqrt{3}$，
∴BD=4$\sqrt{3}$，EN=FM=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形EFMN的周長(zhǎng)為：2+2+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=4+4$\sqrt{3}$；

（3）當(dāng)四邊形ABCD滿足AC=BD時(shí)，四邊形EFMN是菱形．
理由：E，F(xiàn)，M，N分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，
∴NE∥BD，MF∥BD．
∴NE∥MF．
同理，得：NM∥AC，EF∥AC．
∴NM∥EF．
∴四邊形EFMN是平行四邊形．
∵NE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)E$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∴EN=EF，
∴平行四邊形EFMN是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形以及矩形的判定方法，熟練掌握中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理得出是解題關(guān)鍵．